L''idée directrice de cette thèse est d''expliciter un résultat de génération quadratique de l''idéal du plongement canonique d''une famille de courbes fournie par deux entiers a,b <= 3 premiers entre eux (les Cab-courbes). Le travail réalisé comprend d''une part l''étude de la détermination explicite de l''idéal canonique de la courbe considérée (noté I) et d''autre part, le calcul d''un idéal torique homogène Q (contenu dans I). Tout cela est rendu concret, grâce à un algorithme efficace, permettant de déterminer I et Q. Le calcul de l''idéal torique homogène Q contribue fondamentalement au calcul de I. Notre approche réside dans le fait d''avoir étudié l''idéal canonique I par l''intermédiaire du polytope entier de dimension 2, enveloppe convexe de l''ensemble: {(i,j)in N^2 - ai+bj <= 2g-2} où g désigne le genre de la courbe. Ce polytope permet la détermination d''une base de Groebner quadratique de Q; son intérieur, le calcul d''un système de générateurs de I/Q. Cette approche se veut effective et les résultats les plus importants sont accompagnés d''une implémentation en magma.

Bernd Sturmfels: Gröbner bases and convex polytopes, University Lecture Series. Ezra Miller and Bernd Sturmfels: Combinatorial commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics. David Cox, John Little and Donal O''Shea: Ideals, varieties, and algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics Using algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics.